Question

已知m²+2mn+2n²-6n+9=0，求的值．
解：∵m²+2mn+2n²-6n+9=0
∴（m+n）²+（n-3）²=0
∴（m+n）²=0，（n-3）²=0
∴n=3，m=-3
∴
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
（1）已知x²+4x+4+y²-8y+16=0，求的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a²+b²-8b-10a+41=0，求△ABC中最大邊c的取值范圍；
（3）試說明不論x，y取什么有理數(shù)時，多項式x²+y²-2x+2y+3的值總是正數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵x²+4x+4+y²-8y+16=0
∴（x+2）²+（y-4）²=0，
∴（x+2）²=0，（y-4）²=0，
∴x=-2，y=4
∴=-；
（2））∵a²+b²-8b-10a+41=0，
∴（a-5）²+（b-4）²=0，
∴（a-5）²=0，（b-4）²=0，
∴a=5，b=4
△ABC中最大邊5＜c＜9；
（3））∵x²+y²-2x+2y+3=（x-1）²+（y+1）²+1，
且（x-1）²≥0，（y+1）²≥0，
∴x=-2，y=4
∴（x-1）²+（y+1）²+1＞0，
∴多項式x²+y²-2x+2y+3的值總是正數(shù)．
分析：（1）按照題目提供的方法將x²+4x+4+y²-8y+16=0配方后即可求得x、y的值即可求解；
（2）求得三角形的兩邊后即可求得第三邊的取值范圍；
（3）將其整理成完全平方數(shù)加正數(shù)的形式即可證得結(jié)論．
點評：本題考查了配方法的應用，特別是判斷一個算式是正數(shù)時總是將其整理成一個完全平方公式加正數(shù)的形式．