Question

已知：如圖，Rt△AOB中，∠O=90°，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OB于點(diǎn)P．
（1）求證：BP=BC；
（2）若sin∠PAO=

1

3

，且PC=7，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題

分析：（1）連接OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB=90°，由OA=OC，得∠OCA=∠OAC，再由∠O=90°，根據(jù)等角的余角相等即可得出所要求證的結(jié)論；
（2）延長AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根據(jù)三角形函數(shù)和勾股定理，列方程解答．

解答：（1）證明：連接OC，
∵BC是⊙O切線，
∴∠OCB=90°，
∴∠OCA+∠BCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∠BOA=90°，
∴∠OAC+APO=90°，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠OAC+∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠BCA，
∴BC=BP．
（2）解：延長AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，
在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=

1

3

，
設(shè)OP=x，AP=3x，則AO=2

2

x，
∵AO=OE，
∴OE=2

2

x，
∴AE=4

2

x，
∵sin∠PAO=

1

3

，
∴

CE

AE

=

1

3

，
∴

AC

AE

=

2 2

3

，
∴

3x+7

4 2 x

=

2 2

3

，
解得：x=3，
∴AO=6

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理列出方程．