Question

已知：如圖1，∠ACG=90°，AC=2，點(diǎn)B為CG邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CG于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)BC=時(shí)，判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，點(diǎn)B在CG上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點(diǎn)，連接AH，當(dāng)∠CAB=∠BAD=∠DAH時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）判斷：直線FD與以AB為直徑的⊙O相切．
證明：如圖，
作以AB為直徑的⊙O；
∵△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵O為AB的中點(diǎn)，連接DO，
∴OD=OB=AB，
∴點(diǎn)D在⊙O中．
在Rt△ACB中，BC=，AC=2；
∴tan∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴△BOD是等邊三角形．
∴∠BOD=60°．
∴∠ABC=∠BOD，
∴FC∥DO．
∵DF∥CG，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∴OD⊥FD，
∴FD為⊙O的切線．

（2）延長(zhǎng)AD交CG于點(diǎn)E，
同（1）中的方法，可證點(diǎn)C在⊙O中；
∴四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形．
∴∠FBD=∠1+∠2．
同理∠FDB=∠2+∠3．
∵∠1=∠2=∠3，
∵∠FBD=∠FDB，
又∠DFB=90°．
∴EC=AC=2．
設(shè)BC=x，則BD=BC=x，
∵∠EDB=90°，
∴EB=x．
∵EB+BC=EC，
∴x+x=2，
解得x=2-2，
∴BC=2-2．
分析：（1）根據(jù)已知及切線的判定證明得，直線FD與以AB為直徑的⊙O相切；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而求得BC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，圓的內(nèi)接四邊形等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知的邊的長(zhǎng)或相等角得出特殊角從而構(gòu)建出特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．