Question

如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點， （為大于2的整數(shù)），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點F，G，F(xiàn)G與BE的交點為O，連接BF和EG.
（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)（為常數(shù)），時，求FG的長；
（3）記四邊形BFEG的面積為，矩形ABCD的面積為，當(dāng)時，求的值.（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

（1）菱形，理由見解析；（2）；（3）6.

試題分析：（1）根據(jù)矩形和線段垂直平分線的性質(zhì)，由AAS證明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，從而得出四邊形BFEG是菱形的結(jié)論.
（2）根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)，反復(fù)應(yīng)用勾股定理即可求得FG的長.
（3）同（2）的思路，應(yīng)用特殊元素法，列出關(guān)于n的方程求解即可.
試題解析：（1）（1）菱形，理由如下：
∵FG為BE的垂直平分線，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.
又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.
∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.
∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG為菱形.
（2）∵AB＝a，AD=2AB，，∴AD＝2a，.
∴根據(jù)勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.
設(shè)菱形BFEG的邊長為x，
∵AB²＋AF²＝BF²，
∴，解得：x＝.
∴OF＝.
∴FG＝.
（3）n＝6.