Question

如圖，已知直線(xiàn)y=

1

2

x與雙曲線(xiàn)y=

k

x

(k＞0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線(xiàn)y=

k

x

(k＞0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；
（3）另一條直線(xiàn)y=2x交雙曲線(xiàn)y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)P為頂點(diǎn)組成的四邊形AQBP，求四邊形AQBP的面積．

Answer 1

分析：（1）把x=4代入y=

1

2

x可確定A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)y=

k

x

(k＞0)即可得到k的值；
（2）過(guò)A作AF⊥x軸于F，過(guò)C作CD⊥x軸于E，先把y=8代入反比例函數(shù)的解析式確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用S_△AOC=S_梯形AFOEC-S_△COE-S_△OAF，和三角形與梯形的面積公式計(jì)算即可；
（3）把y=2x與反比例函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組確定P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），得到OP=OQ，易證得四邊形AQBP為平行四邊形；同（2）計(jì)算方法一樣得S_△OAP，然后利用四邊形AQBP的面積=4S_△OAP即可得到答案．

解答：解：（1）把x=4代入y=

1

2

x，得y=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

，
∴k=4×2=8；

（2）如圖過(guò)A作AF⊥x軸于F，過(guò)C作CE⊥y軸于E，CG⊥x軸與G，
反比例函數(shù)的解析式為y=

8

x

，∵y=8，則x=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8），
∴S_△AOC=S_AFOEC-S_△COE-S_△OAF，
=8+

1

2

（2+8）×3-

1

2

×8×1-

1

2

×4×2，
=15；

（3）如圖，過(guò)A作AE⊥x軸與E，過(guò)P作PD⊥x軸于D，
解方程組

y=2x y= 8 x

得

x=2 y=4

或

x=-2 y=-4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），
∴P與Q關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
∴OP=OQ，同理可得OA=OB，
∴四邊形AQBP為平行四邊形，
同（2）計(jì)算方法一樣得S_△OAP=S_梯形PDEA=

1

2

×（2+4）×2=6，
∴四邊形AQBP的面積=4S_△OAP=24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．也考查了兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法以及三角形與梯形的面積公式．