Question

（2008•西藏）已知：如圖，AB是⊙O的直徑．OD⊥AB．交⊙O于點(diǎn)F，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接OC、AC、BC．AC的延長線交OD于點(diǎn)D，BC交OD于點(diǎn)E．
（1）證明：∠OCE=∠ODC；
（2）證明：OC²=OE•OD；
（3）如果點(diǎn)C在

AF

上運(yùn)動（與點(diǎn)A、點(diǎn)F不重合）．當(dāng)OA=2時，△AOD面積用y表示，設(shè)OE=x，寫出面積y與x的函數(shù)表達(dá)式，并確定自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的半徑相等可得OA=OC，再根據(jù)等邊對等角求出∠A=∠ACO，然后利用等角的余角相等求解即可；
（2）先求出△OCE和△ODC相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論表示出OD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解，根據(jù)點(diǎn)E在OD上確定x的取值范圍即可．

解答：（1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCE=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODC+∠A=90°，
∴∠OCE=∠ODC；

（2）證明：∵∠OCE=∠ODC，∠COE=∠DOC，
∴△OCE∽△ODC，
∴

OC

OD

=

OE

OC

，
∴OC²=OE•OD；

（3）解：∵OA=2，
∴OC=2，
又∵OC²=OE•OD，OE=x，
∴2²=x•OD，
∴OD=

4

x

，
∴△AOD的面積y=

1

2

OA•OD=

1

2

×2×

4

x

=

4

x

，
即y=

4

x

，
∵點(diǎn)C在

AF

上運(yùn)動（與點(diǎn)A、點(diǎn)F不重合），
∴點(diǎn)E在OD上，（與點(diǎn)O、點(diǎn)D不重合），
∴0＜x＜2．

點(diǎn)評：本題是圓的綜合題型，主要考查了同一個圓的半徑相等，等邊對等角的性質(zhì)，等角的余角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的面積，綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．