Question

如圖，小明在一次高爾夫球訓(xùn)練中，從山坡下P點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的飛行路線(xiàn)為拋物線(xiàn)，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球達(dá)到最大高度BD為12米時(shí)，球移動(dòng)的水平距離PD為9米．已知山坡PA與水平方向PC的夾角為30°，AC⊥PC于點(diǎn)C，P、A兩點(diǎn)相距8

3

米．請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系解決下列問(wèn)題．
（1）求水平距離PC的長(zhǎng)；
（2）求出球的飛行路線(xiàn)所在拋物線(xiàn)的解析式；
（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從P點(diǎn)直接打入球洞A．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PAC中，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求出PC的長(zhǎng)度．
（2）分析題意可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，12），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），設(shè)頂點(diǎn)式可求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=12代入拋物線(xiàn)解析式，看函數(shù)值與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是否相符．

解答：解：（1）依題意得：∠ACP=90°，∠APC=30°，PA=8

3

，
∵cos∠APC=

OC

OA

，
∴PC=8

3

•cos30°=12，
∴PC的長(zhǎng)為12m．
（2）以P為原點(diǎn)，PC所在直線(xiàn)為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
可知：頂點(diǎn)B（9，12），拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-9）²+12，
將點(diǎn)P（O，0）的坐標(biāo)代入可得：0=a（0-9）²+12，求得a=-

4

27

，
故拋物線(xiàn)的解析式為：y=-

4

27

(x-9)2+12．
（3）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0），易求得AC=4

3

，
即可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，4

3

），
當(dāng)x=12時(shí)，y=-

4

27

(12-9)2+12=

32

3

≠4

3

，
故小明不能一桿把高爾夫球從P點(diǎn)直接打入球洞A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及解直角三角形的知識(shí)，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)，注意建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度一般．