Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（　�。�

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 先連接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四邊形EGFH是菱形，易證得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的長，繼而求得OA的長，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答 解：如圖，連接EF，交AC于O，
∵四邊形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO與△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{AE}{10}$，
∴AE=$\frac{25}{4}$．
故選：D．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．