Question

已知二次函數(shù)．
（1）求證：不論k為任何實數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側(cè)，且關于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的整數(shù)值；
（3）在（2）的條件下，關于x的另一方程x²+2（a+k）x+2a-k²+6k-4=0 有大于0且小于3的實數(shù)根，求a的整數(shù)值．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出方程：x²+kx+k-=0的判別式，即可得出結(jié)論；
（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側(cè)，則可得當x=1時，函數(shù)值y＜0，再由關于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得出k的取值范圍，從而得出k的整數(shù)值；
（3）將求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根據(jù)方程有大于0且小于3的實數(shù)根，可得出a的取值范圍，繼而得出a的整數(shù)值．
解答：（1）證明：x²+kx+k-=0，
△₁=b²-4ac=k²-4（k-）
=k²-2k+14
=k²-2k+1+13
=（k-1）²+13＞0，
∴不論k為任何實數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）解：∵二次函數(shù)y=x²+kx+k-的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側(cè)，且二次函數(shù)開口向上，
∴當x=1時，函數(shù)值y＜0，
即1+k+k-＜0，
解得：k＜，
∵關于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴k≠0且△₂=b²-4ac=（2k+3）²-4k²=4k²+12k+9-4k²=12k+9＞0，
∴k＞-且k≠0，
∴-＜k＜且k≠0，
∴k=1；

（3）解：由（2）可知：k=1，
∴x²+2（a+1）x+2a+1=0，
解得x₁=-1，x₂=-2a-1，
根據(jù)題意，0＜-2a-1＜3，
∴-2＜a＜-，
∴a的整數(shù)值為-1．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了拋物線與x軸的交點問題、根的判別式、不等式組的整數(shù)解，對于此類綜合題往往涉及的知識點較多，同學們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學知識融會貫通．