Question

18．直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，∠BAO=60°，AC平分∠BAO交y軸于點(diǎn)C，若AC=8．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）動點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著射線AC運(yùn)動，過P作PH⊥y軸，垂足為H．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，用含t的關(guān)系式表示線段CH的長，并寫出t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)OH=2CH時，求出t的值．此時在第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使△CHM是等腰直角三角形．如果存在，請直接寫出M的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BC，計(jì)算即可；
（2）證明△CPH∽△CAO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意求出CH，分∠MCH=90°，CH=CM、∠CHM=90°，CH=HM、∠CMH=90°，CM=HM三種情況，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵∠BAO=60°，AC平分∠BAO，
∴∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=4，BC=AC=8，
∴OB=OC+BC=12，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，12）；
（2）∵PH⊥y軸，
∴PH∥OA，
∴△CPH∽△CAO，
∴$\frac{CH}{CO}$=$\frac{CP}{CA}$，即$\frac{CH}{4}$=$\frac{8-2t}{8}$，
解得，CH=4-2t（0≤t≤4）；
（3）∵OH=2CH，
∴CH=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)∠MCH=90°，CH=CM=$\frac{4}{3}$時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，4），
當(dāng)∠CHM=90°，CH=HM=$\frac{4}{3}$時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
當(dāng)∠CMH=90°，CM=HM時，點(diǎn)M在CH的垂直平分線上，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．