Question

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA=2，∠AOC=60°，以O(shè)A為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，交AB于E．
（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；
（2）求證：DE是⊙P的切線；
（3）小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)連結(jié)DA并延長，交x軸于點(diǎn)N，則△AON是等腰三角形．由此，他斷定：“x軸上一定存在除點(diǎn)N以外的點(diǎn)Q，使△AOQ也是等腰三角形，且點(diǎn)Q一定在⊙P外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出，∠ACO=90°，進(jìn)而利用OA=2，∠AOC=60°，得出OC=1，AC=，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先得出四邊形OADC為等腰梯形，進(jìn)而得出△PAD為等邊三角形，從而得出∠BAD=∠PDA，以及PD∥AB，即可得出答案；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)OA=OQ時(shí)，②當(dāng)OQ=AQ時(shí)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：（1）解：連結(jié)AC，
∵OA為⊙P的直徑，∴∠ACO=90°，
又∵OA=2，∠AOC=60°，∴OC=1，AC=，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），
∵OABC為平行四邊形，
∴AB=OC，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）．

（2）證明：連結(jié)PD、AD，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴CD∥OA，
∴弧OC=弧AD，∴OC=AD，
∴四邊形OADC為等腰梯形，
∴∠DAO=∠AOC=60°，
∵PA=PD，
∴△PAD為等邊三角形，
∴∠PDA=60°，
∵∠BAO=180°-60°=120°，∠DAO=60°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠PDA，∴PD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥PD，
∴DE是⊙P的切線．

（3）解：不同意．
理由如下：
①當(dāng)OA=OQ時(shí)，
以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫弧交x軸于Q₁和Q₃兩點(diǎn)，
得點(diǎn)Q₁（-2，0），Q₃（2，0）
②當(dāng)OQ=AQ時(shí)，作OA的中垂線，交x軸于點(diǎn)Q₂，
OQ₂=＜，點(diǎn)Q₂（，0）．
因此，在x軸上，除了N點(diǎn)外，既存在⊙P內(nèi)的點(diǎn)Q₂，
又存在⊙P外的點(diǎn)Q₁、Q₃，它們分別使△AOQ為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及切線的判定和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用不要漏解．