如圖(1)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角錢AC與BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC＝．

求證：AC＝MN

答案：
解析：

　　解析：分析1：將AC平移至DE的位置，將梯形中的問題轉(zhuǎn)化為△BDE中的問題

　　證法1：如圖(2)，過D點作DE∥AC交BC的延長線于E．∴AC⊥BD于O，∴∠BDE＝∠BOC＝又∵AD∥BC，∴四邊形ACED是平行四邊形．

　　∴CE＝AD，DE＝AC�、�

　　在Rt△BDE中，∵∠DBE＝，

　　∴DE＝BE＝(BC＋CE)

　　　�。�(BC＋AD)

　　∵MN是梯形ABCD的中位線，

　　∴MN＝(BC＋AD)�、�

　　由①、②得：MN＝AC

　　分析2：欲證AC＝(AD＋BC)．只須證OA＝AD，OC＝BC，這可從AC⊥BD，∠DBC＝∠ODA＝出發(fā)得證．

　　證法2：∵AC與BD垂直相交于O，

　　∴△BOC與△AOD都是直角三角形

　　在Rt△BOC中，∵∠OBC＝，

　　∴OC＝BC．又∵AD∥BC，

　　∴∠ADO＝∠OBC＝

　　故同理有AO＝AD

　　∴AC＝AO＋OC＝(AD＋BC)

　　∵MN是梯形ABCD的中位線，

　　∴MN＝(AD＋BC)．故AC＝MN．


練習冊系列答案
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