Question

如圖，等腰△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于D、E兩點，BF與⊙O相切于點B，交AC的延長線于點F，連接AE．
（1）求證：D是AC的中點；
（2）若CD=CF=4，求⊙O的直徑；
（3）sin∠CAE=k（k＞0），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，由圓周角定理知BD⊥AF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得D是AC的中點．
（2）若CD=CF=4，那么AD=4，易證得△ABD∽△AFB，根據(jù)所得比例相等即可求得AB的長．
（3）由圓周角定理知∠CAE=∠ABD，因此sin∠F=sin∠ABD=k，可設(shè)AB=ak，則AF=a，AD=ak²，進而可表示出AC、FC的值，即可得到CF、AB的比例關(guān)系．
解答：（1）證明：連接DB，
∴AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴DB⊥AC．（2分）
又∵AB=BC．
∴D是AC的中點．（1分）

（2）解：在△ADB和△ABF中，
∵∠ADB=∠ABF=90°，∠DAB=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF．（2分）
∴=，
∴=．（1分）
∴AB=4（1分）

（3）解：∵∠CAE=∠CBD，
又∵∠CBD=∠ABD，
∠ABD=∠F，（2分）
∴sin∠CAE=sin∠F=k．
設(shè)AB=ak，AF=a，
由△ADB∽△ABF，=，得AD=ak²，（1分）
∴AC=2ak²，CF=a-2ak²；
∴==．（1分）
點評：此題主要考查了圓周角定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)圓周角定理發(fā)現(xiàn)∠CAE和∠ABD的等量關(guān)系是解答（3）題的關(guān)鍵．