分析:(1)如圖1,延長AB交CF于點D,證明BM為△ADF的中位線即可。
(2)如圖2,作輔助線,推出BM、ME是兩條中位線。
(3)如圖3,作輔助線,推出BM、ME是兩條中位線:BM=
DF,ME=
AG;然后證明△ACG≌△DCF,得到DF=AG,從而證明BM=ME。
解:(1)證明:
如圖1,延長AB交CF于點D,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD。
∴點B為線段AD的中點。
又∵點M為線段AF的中點,
∴BM為△ADF的中位線。
∴BM∥CF。
(2)如圖2,延長AB交CF于點D,則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD=a,AC=AD=
a,
∴點B為AD中點,又點M為AF中點。
∴BM=
DF。
分別延長FE與CA交于點G,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=
a。
∴點E為FG中點,又點M為AF中點。
∴ME=
AG。
∵CG=CF=
a,CA=CD=
a,∴AG=DF=
a。
∴BM=ME=
。
(3)證明:如圖3,延長AB交CE于點D,連接DF,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,AC=CD。
∴點B為AD中點。
又點M為AF中點,∴BM=
DF。
延長FE與CB交于點G,連接AG,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,
∴CE=EF=EG,CF=CG。
∴點E為FG中點。
又點M為AF中點,∴ME=
AG。
在△ACG與△DCF中,∵
,
∴△ACG≌△DCF(SAS)。
∴DF=AG,∴BM=ME。