Question

【題目】如圖所示，已知直線L過點A（0，1）和B（1，0），P是x軸正半軸上的動點，OP的垂直平分線交L于點Q，交x軸于點M．

（1）直接寫出直線L的解析式；

（2）設OP＝t，△OPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式；并求出當0＜t＜2時，S的最大值；

（3）直線L1過點A且與x軸平行，問在L1上是否存在點C，使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝1﹣x；（2），S有最大值；（3）存在點C（1，1）．

【解析】

（1）已知直線L過A，B兩點，可將兩點的坐標代入直線的解析式中，用待定系數法求出直線L的解析式；

（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長，已知了OP為t，關鍵是求出QM的長．已知了QM垂直平分OP，那么OM＝t，然后要分情況討論：①當OM＜OB時，即0＜t＜2時，BM＝OB﹣OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM＝BM，由此可根據三角形的面積公式得出S與t的函數關系式；②當OM＞OB時，即當t≥2時，BM＝OM﹣OB，然后根據①的方法即可得出S與t的函數關系式，然后可根據0＜t＜2時的函數的性質求出S的最大值；

（3）如果存在這樣的點C，那么CQ＝QP＝OQ，因此C，O就關于直線BL對稱，因此C的坐標應該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分三種情況進行討論：①當Q在線段AB上（Q，B不重合），且P在線段OB上時．要證∠CQP＝90°，那么在四邊形CQPB中，就需先證出∠QCB與∠QPB互補，由于∠QPB與∠QPO互補，而∠QPO＝∠QOP，因此只需證∠QCB＝∠QOB即可，根據折疊的性質，這兩個角相等，由此可得證；②當Q在線段AB上，P在OB的延長線上時，根據①已得出∠QPB＝∠QCB，那么這兩個角都加上一個相等的對頂角后即可得出∠CQP＝∠CBP＝90度；③當Q與B重合時，很顯然，三角形CQP應該是個等腰直角三角形．綜上所述即可得出符合條件C點的坐標．

（1）y＝1﹣x；

（2）∵OP＝t，

∴Q點的橫坐標為t，

①當，即0＜t＜2時，QM=1-t，

∴S△OPQ＝t（1﹣t），

②當t≥2時，QM＝|1﹣t|＝t﹣1，

∴S△OPQ＝t（t﹣1），

∴

當0＜t＜1，即0＜t＜2時，S＝t（1﹣t）＝﹣（t﹣1）2+，

∴當t＝1時，S有最大值；

（3）由OA＝OB＝1，故△OAB是等腰直角三角形，

若在L1上存在點C，使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形，

則PQ＝QC，

所以OQ＝QC，又L1∥x軸，則C，O兩點關于直線L對稱，

所以AC＝OA＝1，得C（1，1）．下面證∠PQC＝90度．連CB，則四邊形OACB是正方形．

①當點P在線段OB上，Q在線段AB上（Q與B、C不重合）時，如圖﹣1，

由對稱性，得∠BCQ＝∠QOP，∠QPO＝∠QOP，

∴∠QPB+∠QCB＝∠QPB+∠QPO＝180°，

∴∠PQC＝360°﹣（∠QPB+∠QCB+∠PBC）＝90度；

②當點P在線段OB的延長線上，Q在線段AB上時，如圖﹣2，如圖﹣3

∵∠QPB＝∠QCB，∠1＝∠2，

∴∠PQC＝∠PBC＝90度；

③當點Q與點B重合時，顯然∠PQC＝90度，

綜合①②③，∠PQC＝90度，

∴在L1上存在點C（1，1），使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形．