Question

如圖，?ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，動(dòng)點(diǎn)E在BC上（不與B重合）．作EF⊥AB于F，F(xiàn)E、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．設(shè)BE=x，△DEF的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在何處時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行判斷出DG是△DEF的EF邊上的高，再根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)求出∠B=60°，然后解直角三角形求出EF的長(zhǎng)，用x表示出CE，解直角三角形求出CG再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得CD=AB=4，然后表示出DG，根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題以及增減性解答．
解答：解：（1）在?ABCD中，AB∥CD，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DC，
∴DG為△DEF邊EF上的高，
在Rt△BFE中，∠B=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
EF=BEsinB=x，
在Rt△CEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°=，
∴DG=DC+CG=4+=，
∴S=EF•DG=×x×=-x²+x，
其中0＜x≤3；

（2）∵a=-＜0，對(duì)稱軸為x=-=-=，
∴當(dāng)0＜x≤3時(shí)，S隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=3，即E與C重合時(shí)，S有最大值，
S_最大=-×9+×3=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的對(duì)邊平行的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)的增減性求函數(shù)的最值，綜合題，但難度不大．