Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求證：AD∥CG；
（2）求證：△ACF≌△CBG；
（3）若CF=12，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明∠DAC=∠GCA=45°，即可得出AD∥CG；
（2）證明∠ACF=∠CBG．AC=BC，∠CAF=∠BCG=45°，即可得出△ACF≌△CBG；
（3）延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H，則GH是△ABD的中位線，BG=DG；由（1）知AD∥CG，E是AC中點(diǎn)，得DE=GE；由（2）得BG=CF=12；故DE=$\frac{1}{2}$CF=6

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAB=45°，∠ACG=45°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAC=90°-45°=45°=∠ACG，
∴AD∥CG；
（2）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，
在△ACF和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠CBG}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠CAF=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBG（ASA），
∴AF=CG；
（3）解：延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H，如圖所示：
則GH是△ABD的中位線，BG=DG；
由（1）知AD∥CG，E是AC中點(diǎn)，
∴DE=GE；
由（2）得BG=CF=12；
∴DE=$\frac{1}{2}$CF=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關(guān)鍵．