Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CP∥AB，且AC=BP，直接寫(xiě)出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)：P（2，-3）
（3）連接PO、PC，并把拋物線沿CO翻折，此時(shí)，可得到四邊形POP'C，那么，是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，與y軸交于C點(diǎn)，從而可以求得A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性，由點(diǎn)C的坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，翻折的性質(zhì)即可求得使四邊形POP'C為菱形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y=x²-2x-3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，0=x²-2x-3，得x₁=-1，x₂=3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）∵CP∥AB，且AC=BP，點(diǎn)C（0，-3），y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3），
故答案為：（2，-3）；
（3）存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形，
∵四邊形POP'C為菱形，
∴PP′⊥OC，且PP′平分OC，
∵點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)C（0，-3），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=-1.5，
將y=-1.5代入y=x²-2x-3，得
-1.5=x²-2x-3，
解得，x₁=$1+\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=$1-\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$1+\frac{\sqrt{10}}{2}，-1.5$）或（$1-\frac{\sqrt{10}}{2}，-1.5$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、菱形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合和二次函數(shù)以及翻折的性質(zhì)解答．