Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y1=ax2+bx過(guò)點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（3，

3

）．
（1）求拋物線y₁的解析式；
（2）將拋物線y₁沿x軸翻折得拋物線y₂，求拋物線y₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線y₂上是否存在點(diǎn)M，使△OAM與△AOB相似？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A，B兩點(diǎn)代入求出即可；
（2）將拋物線y₁沿x軸翻折后，仍過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過(guò)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′(3 ， -

3

)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出即可；
（3）①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，△OAM就是△OAB'；②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，假設(shè)△OAM∽△OBA，分別得出M點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）依題意，得

36a+6b=0 9a+3b= 3 .

解得

a=- 3 9 b= 2 3 3 .

，
∴拋物線y₁的解析式為：y1=-

3

9

x2+

2 3

3

x．

（2）將拋物線y₁沿x軸翻折后，仍過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過(guò)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′(3 ， -

3

)，
設(shè)拋物線y₂的解析式為：y2=mx2+nx，
∴

36m+6n=0 9m+3n=- 3

，
解得：

a= 3 9 b=- 2 3 3 .

∴拋物線y₂的解析式為y2=

3

9

x2-

2 3

3

x；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，
則有tan∠BOC=

BC

OC

=

3

3

．
∴∠BOC=30°，∠OBC=60°．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3．
∴∠BAC=30°，∠OBA=120°．
∴OB=AB．
即△OBA是頂角為120°的等腰三角形．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，△OAM就是△OAB'，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(3 ， -

3

)．
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，假設(shè)△OAM∽△OBA，
則有AM=OA=6，∠OAM=120°．
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠MAD=60°．
∴MD=3

3

，AD=3．∴OD=9．
而（9，3

3

）滿足關(guān)系式y2=

3

9

x2-

2 3

3

x，
即點(diǎn)M在拋物線y2=

3

9

x2-

2 3

3

x上．
根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)(-3 ， 3

3

)也滿足條件．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1(3 ， -

3

)，M2(9 ， 3

3

)，M3(-3 ， 3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．