Question

5．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，點O在對角線AC上，以O為圓心OA為半徑的⊙O與CD相切于點D．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為6，CD=8，求弦AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，OB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠ODC=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過D作DE⊥AC于E，根據(jù)勾股定理得到OC=10，根據(jù)三角形的面積公式得到DE=$\frac{OD•CD}{OC}$=$\frac{24}{5}$，根據(jù)射影定理得到OD²=OE•OC，求得OE=$\frac{36}{10}$=$\frac{18}{5}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OD，OB，
在△ADC與△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{CD=CB}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC=90°，
在△CDO與△CBO中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠1=∠2}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
∴OB⊥CB，
∴直線BC是⊙O的切線；

（2）過D作DE⊥AC于E，
∵∠ODC=90°，OD=6，CD=8，
∴OC=10，
∴DE=$\frac{OD•CD}{OC}$=$\frac{24}{5}$，
∵∠ODC=90°，DE⊥OC，
∴OD²=OE•OC，
∴OE=$\frac{36}{10}$=$\frac{18}{5}$，
∴AE=$\frac{48}{5}$，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，射影定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．