Question

如圖1，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，且C、D、E在同一條直線上，連接AE、CG．

（1）猜想AE與CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給予說(shuō)明．
（2）把正方形ABCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）AE=CG，AE⊥CG．
理由如下：∵四邊形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
∵在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠CGD=∠AED，
延長(zhǎng)AE交CG于M，
∵∠CGD+∠DCG=90°，
∴∠AED+∠DCG=90°，
∴∠EMC=180°-（∠AED+∠DCG）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG；

（2）結(jié)論還成立．
理由如下：∵四邊形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC-∠ADG=∠GDE-∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
∵在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠CGD=∠AED，
延長(zhǎng)AE交CG于M，延長(zhǎng)GC交ED的延長(zhǎng)線于N，
∵∠CGD+∠N=90°，
∴∠AED+∠N=90°，
∴∠EMN=180°-（∠AED+∠N）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CG，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CGD=∠AED，延長(zhǎng)AE交CG于M，根據(jù)∠CGD+∠DCG=90°求出∠AED+∠DCG=90°，然后求出∠CME=90°，再根據(jù)垂直的定義即可得解；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，然后求出∠ADE=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CG，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CGD=∠AED，延長(zhǎng)AE交CG于M，延長(zhǎng)GC交ED的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)∠CGD+∠N=90°求出∠AED+∠N=90°，然后求出∠CME=90°，再根據(jù)垂直的定義即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，熟記正方形的性質(zhì)確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．