Question

(1) 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.

(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的長.

(3) 已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF＝4. 直接寫出下列兩題的答案：
①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

Answer 1

(1) 證明：如圖1，

∵ 四邊形ABCD為正方形，
∴  AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， 
∴  ∠EAB+∠AEB=90°.
∵  ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴  ∠FBC+∠AEB=90°，∴  ∠EAB=∠FBC，           
∴  △ABE≌△BCF ，   ∴  BE=CF．  ………………3分         
(2) 解：如圖2,過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，

過點(diǎn)B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O^/，
則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形， 
∴  EF=BN,GH=AM，        
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO^/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴  AM=BN，
∴  GH=EF=4． ………………6分      
(3) ① 8．② 4n．   ………………8分    

（1）關(guān)鍵是證出∠CBF=∠BAE，可利用同角的余角相等得出，從而結(jié)合已知條件，利用SAS可證△ABE≌△BCF，于是BE=CF；
（2）過A作AM∥GH，交BC于M，過B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于點(diǎn)O′，利用平行四邊形的判定，可知四邊形AMHG和四邊形BNFE是?，那么AM=GH，BN=EF，由于∠EOH=90°，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可知∠AO′N=90°，那么此題就轉(zhuǎn)化成（1），求△BCN≌△ABM即可；
（3）①若是兩個(gè)正方形，則GH=2EF=8；②若是n個(gè)正方形，那么GH=n•4=4n．