Question

如圖，△ABC中，E是AC上一點(diǎn)，且AE=AB，∠EBC=

1

2

∠BAC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，交EB于點(diǎn)F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若AB=8，sin∠EBC=

1

4

，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）首先連接AF，由AB為直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=

1

2

∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BAF=∠EBC，繼而證得BC與⊙O相切；
（2）首先過(guò)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得BF的長(zhǎng)，易證得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：（1）證明：連接AF．
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°．
∵AE=AB，
∴△ABE為等腰三角形．
∴∠BAF=

1

2

∠BAC．
∵∠EBC=

1

2

∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．
即AB⊥BC，
∴BC與⊙O相切．

（2）解：過(guò)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=

1

4

．
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB•sin∠BAF=8×

1

4

=2，
∴BE=2BF=4．
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×

1

4

=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴

CE

CA

=

EG

AB

．
∴

CE

CE+8

=

1

8

，
∴CE=

8

7

，
∴AC=AE+CE=8+

8

7

=

64

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．