Question

如圖，在直角坐標系中，點D在y軸上，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD。已知， DO⊥AB， OE⊥BC，E、O分別為垂足，BC=BO ，O為坐標原點。

     (1) 求證：DO=EO

     (2) 已知：C點坐標為（4 ， 8），

①求等腰梯形ABCD的腰長；

②問題探究：在這個坐標平面內是否存在點F，使以點F、D、O、E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出所有符合要求的F點的坐標，并說明理由；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）證法不唯一。

證法一：∵ 四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD

        ∴ ∠OAD=∠OBE(等腰梯形同一底上的兩個底角相等)

            AD=BC

∵ DO⊥AB， OE⊥BC

        ∴ ∠DOA=∠BEO==Rt∠

∴  △AOD≌△BOF （ASA），

∴  DO=EO-------------------------4分

證法二：連結OC，證△COD≌△COF （AAS），

得DO=EO

證法三：作CH⊥AB，證△CBH≌△BOE （AAS），

得CH=OE

再證矩形ODCH,

得CH=OD ，則DO=EO

（2）       ①設等腰梯形ABCD的腰長為x，

作CH⊥AB，則矩形ODCH中

OH=DC=4，CH=OD=8，BH=x-4

在Rt△CBH中,由勾股定理得

解得x=10

答：等腰梯形ABCD的腰長為10. -------------------------4分

②在坐標平面內存在點F，使以點F、D、O、E為頂點的四邊形是菱形.

  ∵ OD=OEDE

  ∴以F、D、O、E為頂點的菱形唯一存在，四條邊只能是是OD、OE、FD、FE，

在菱形DOEF中，F(xiàn)E∥OD，且FE=OD=8

在Rt△BOE中，作EG⊥OB，垂足為G.

BO=10，OE=8，則BE=6

由面積法,得EG=4.8

在Rt△GOE中,OE=8，EG=4.8，則OG=6.4，即E(6.4,4.8)

將E點向上平移8個單位，得到點F,GF=4.8+8=12.8

∴ F點的坐標為（6.4 ，12.8）