Question

如圖，已知在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過O點的射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點P，則下面結(jié)論中：

①圖形中全等的三角形只有三對；②△EOF是等腰直角三角形；

③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；

④BE+BF=OA；⑤AE²+BE²=2OP•OB．

正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

　   A． 4個                  B． 3個                         C． 2個                        D． 1個

Answer 1

A     解：①不正確；

圖形中全等的三角形有四對：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，

在△ABC和△ADC中，，

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

∵點O為對角線AC的中點，

∴OA=OC，

在△AOB和△COB中，，

∴△AOB≌△COB（SSS）；

∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，

∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，

又∵∠EOF=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，，

∴△AOE≌△BOF（ASA）；

同理：△BOE≌△COF；

②正確；理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴OE=OF，

∴△EOF是等腰直角三角形；

③正確．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積；

④正確．理由如下：

∵△BOE≌△COF，

∴BE=CF，

∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；

⑤正確．理由如下：

∵△AOE≌△BOF，

∴AE=BF，

∴AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=2OF²，

在△OPF與△OFB中，

∠OBF=∠OFP=45°，

∠POF=∠FOB，

∴△OPF∽△OFB，

∴OP：OF=OF：OB，

∴OF²=OP•OB，

∴AE²+CF²=20P•OB．

正確結(jié)論的個數(shù)有4個；