如圖,四邊形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB為直徑的半⊙O 切CD于點E,F(xiàn)為弧BE上一動點,過F點的直線MN為半⊙O的切線,MN交BC于M,交CD于N,則△MCN的周長為( 。
A、9
B、10
C、3
11
D、2
23
考點:切線長定理
專題:計算題
分析:作DH⊥BC于H,如圖,利用平行線的性質(zhì)得AB⊥AD,AB⊥BC,則根據(jù)切線的判定得到AD和BC為⊙O切線,根據(jù)切線長定理得DE=DA=2,CE=CB,NE=NF,MB=MF,利用四邊形ABHD為矩形得BH=AD=2,DH=AB=6,設(shè)BC=x,則CH=x-2,CD=x+2,在Rt△DCH中根據(jù)勾股定理得(x-2)2+62=(x+2)2,解得x=
9
2
,即CB=CE=
9
2
,然后由等線段代換得到△MCN的周長=CE+CB=9.
解答:解:作DH⊥BC于H,如圖,
∵四邊形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,
∴AB⊥AD,AB⊥BC,
∵AB為直徑,
∴AD和BC為⊙O 切線,
∵CD和MN為⊙O 切線,
∴DE=DA=2,CE=CB,NE=NF,MB=MF,
∵四邊形ABHD為矩形,
∴BH=AD=2,DH=AB=6,
設(shè)BC=x,則CH=x-2,CD=x+2,
在Rt△DCH中,∵CH2+DH2=DC2,
∴(x-2)2+62=(x+2)2,解得x=
9
2
,
∴CB=CE=
9
2
,
∴△MCN的周長=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9.
故選A.
點評:本題考查了切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線,平分兩條切線的夾角.也考查了勾股定理.
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2
,則△EFC的面積為
 

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