Question

三角形的三內(nèi)角A、B、C的對邊長分別是a、b、c（a、b、c都是素數(shù)），且滿足a+b+c=16，又設(shè)∠A是最小內(nèi)角，則cosA的值是（　�。�

• A、

  1

  7

• B、

  2

  7

• C、

  47

  49

• D、條件不足，無法計算

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：把a(bǔ)，b，c中的兩個字母的和當(dāng)作一個整體，由于a+b+c=16，16是偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，而2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，得出a，b，c中有一個是2，不妨設(shè)a=2，則b+c=14，且b、c都是奇質(zhì)數(shù)，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出b、c的值，利用勾股定理求出

解答：解：∵a+b+c=16，a，b，c都是質(zhì)數(shù)，則a，b，c的值一定是：1或2或3或5或7或11或13．
∴a，b，c中有一個是2，根據(jù)大邊對大角可得：a=2，
∴b+c=14，且b、c都是奇質(zhì)數(shù)，
又∵14=3+11=7+7，
而2+3＜11，
∴以2，3，11為邊不能組成三角形；
而2+7＞7，
以2，7，7為邊能組成三角形．
畫出示意圖如下：

設(shè)AD=x，則DC=7-x，
∵AB²-AD²=BC²-CD²，即7²-x²=2²-（7-x）²，
解得x=

47

7

，即AD=

47

7

，
∴cosA=

AD

AB

=

47

49

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)的有關(guān)知識及三角形三邊關(guān)系定理，難度較大，其中對于奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)的有關(guān)知識考查屬于競賽題型，超出教材大綱要求范圍．