如圖,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,CD與⊙O相切, AD∥BC,連結(jié)OD,AC.

(1)求證:∠B=∠DCA;

(2)若tan B=,OD=, 求⊙O的半徑長.

(1)見解析;(2)r=3.

【解析】

試題分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠2+∠3=90°,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得∠1+∠B=90°,根據(jù)OA=OC可得∠1=∠2,從而得出∠3=∠B;(2)根據(jù)角度的關(guān)系得出△ABC和△DCA相似,根據(jù)∠B的正切值,設(shè)AC=k,可以得到BC,AB與k的關(guān)系,根據(jù)Rt△OCD的勾股定理求出k的值.

試題解析:(1)證明:連結(jié)OC.

∵CD與⊙O相切,OC為半徑, ∴∠2+∠3=90° ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°,

∴∠1+∠B=90°, 又∵OA=OC, ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠B.

(2) ∵AD∥BC,AB是⊙O的直徑, ∴∠DAC=∠ACB=90°, ∵∠1+∠B=90°,∠2+∠3=90°,∠1=∠2,

∴∠B=∠3,∴△ABC∽△DCA ∴ ∴∠B的正切值為 設(shè)AC=k,BC=2k 則AB=3k

∴DC= 在△ODC中,OD=3 OC=k ∴

∴解得:k=2 ∴⊙O的半徑長為3

考點:切線的性質(zhì)、三角形相似的應(yīng)用、勾股定理.

練習(xí)冊系列答案
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