Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），再把C（0，3）代入求出a的值即可；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式求出求出拋物線的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出△ACP的面積，進(jìn)而可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
∵點(diǎn)C（0，3），
∴-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
∴其對(duì)稱軸x=-1，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）
∵點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴設(shè)M（-1，m），
∵A（1，0），P（-1，4），
∴設(shè)過(guò)點(diǎn)A、P的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

k+b=0 -k+b=4

，解得

k=-2 b=2

，
∴直線AP的解析式為y=-2x+2，
∴E（0，2），
∴S_△ACP=S_△ACE+S_△PEC=

1

2

CE•1+

1

2

CE•1=

1

2

×1×1+

1

2

×1×1=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

MP×2=2，解得MP=2，
當(dāng)點(diǎn)M在P點(diǎn)上方時(shí)，m-4=2，解得m=6，
∴此時(shí)M（-1，6）；
當(dāng)點(diǎn)M在P點(diǎn)下方時(shí)，4-m=2，解得m=2，
∴此時(shí)M（-1，2），
綜上所述，M₁（-1，6），M₂（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式等知識(shí)，難度不大．