Question

11．如果一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，則說明4，12，20都是神秘數(shù)．
（1）28和2012是神秘數(shù)嗎？為什么？
（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2k和2k+2（k為非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構成的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？
（3）兩個連續(xù)奇數(shù)（取正整數(shù)）的平方差是神秘數(shù)嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“神秘數(shù)”的定義，只需看能否把28和2012這兩個數(shù)寫成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差即可判斷；
（2）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可；
（3）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可．

解答 解：（1）∵28=8²-6²，2012=504²-502²，
∴28是“神秘數(shù)”；2012是“神秘數(shù)”；
（2）兩個連續(xù)偶數(shù)構成的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴兩個連續(xù)偶數(shù)構成的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，
∵2k+1是奇數(shù)，
∴它是4的倍數(shù)，不是8的倍數(shù)；
（3）設兩個連續(xù)的奇數(shù)為：2k+1，2k-1，則
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，
此數(shù)是8的倍數(shù)，而由（2）知“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)，
所以兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)．

點評 此題主要考查了平方差公式的應用，此題是一道新定義題目，熟練記憶平方差公式是解題關鍵．