Question

已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點A（0，1），交x軸于點C，且與正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象相交于點B（4，a）．
（1）求a、k、b的值；
（2）求△AOC的面積；
（3）在函數(shù)y=

1

2

x的直線上是否存在一點P，使得S_△PAO=2S_△AOC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：

分析：（1）先把（4，a）代入y=

1

2

x可求出a，然后利用待定系數(shù)確定一次函數(shù)解析式，從而得到k和b的值．
（2）先求得C的坐標，進而求得OC的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求得；
（3）設(shè)P（m，

1

2

m），根據(jù)S_△PAO=2S_△AOC即可列出關(guān)于m的方程，解方程求得m，進而求得P的坐標；

解答：解：（1）把（4，a）代入y=

1

2

x得a=2，
把（0，1）、（4，2）代入y=kx+b得

b=1 4k+b=2

，
解得

k= 1 4 b=1

；

（2）由（1）可知一次函數(shù)y=

1

4

x+1，
∴C（-4，0），
∴OC=4，
∴△AOC的面積=

1

2

OC•OA=

1

2

×4×1=2；

（3）存在；
設(shè)P（m，

1

2

m），
∴S_△PAO=

1

2

OA•|m|=

1

2

×1•|m|=

1

2

|m|，
∵S_△PAO=2S_△AOC，
∴

1

2

|m|=2×2=4，解得：|m|=8，
∴P（8，4）或（-8，-4）．

點評：本題考查了兩條直線相交或平行問題：若直線y=k₁x+b₁與直線y=k₂x+b₂平行，則k₁=k₂；若直線y=k₁x+b₁與直線y=k₂x+b₂相交，則由兩解析式所組成的方程組的解為交點坐標．