Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=9cm．P、Q兩點同時從點B、D出發(fā)，分別沿BA、DA方向勻速運動（當P運動到A時，P、Q同時停止運動），已知P點的速度比Q點大1cm/s，設P點的運動時間為x秒，△PAQ的面積為ycm²，
（1）經過3秒△PAQ的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{3}$時，求P、Q兩點的運動速度分別是多少？
（2）以（1）中求出的結論為條件，寫出y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設Q點的運動速度為vcm/s，則P的運動速度為（v+1）cm/s，得出DQ=3v，BP=3（v+1），根據3秒△PAQ的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{3}$列出方程求解可得；
（2）根據題意知BP=（4-$\sqrt{2}$）x，DQ=（3-$\sqrt{2}$）x，由矩形面積公式可得函數解析式，根據AP≥0得出x的范圍．

解答 解：（1）設Q點的運動速度為vcm/s，則P的運動速度為（v+1）cm/s，
則DQ=3v，BP=3（v+1），
由題意得：$\frac{1}{2}$•[12-3（v+1）]•（9-3v）=$\frac{1}{3}$×9×12，
解得：v=3+$\sqrt{2}$或v=3-$\sqrt{2}$，
又3（v+1）≤12，
∴v≤3，
∵3+$\sqrt{2}$＞3，舍去，
故點Q的運動速度為3-$\sqrt{2}$cm/s，點P的運動速度為4-$\sqrt{2}$cm/s；

（2）當點Q的運動速度為3-$\sqrt{2}$cm/s，點P的運動速度為4-$\sqrt{2}$cm/s時，
BP=（4-$\sqrt{2}$）x，DQ=（3-$\sqrt{2}$）x，
∴y=$\frac{1}{2}$[12-（4-$\sqrt{2}$）x]•[9-（3-$\sqrt{2}$）x]
=$\frac{14-7\sqrt{2}}{2}$x²-$\frac{72-21\sqrt{2}}{2}$x+54，
∵9-（3-$\sqrt{2}$）x≥0，
∴0≤x≤$\frac{27+9\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題主要考查二次函數的應用和一元二次方程的應用，根據題意表示出BP、DQ的長，由面積公式及相互間的相等關系列出方程或函數解析式是解題的關鍵．