Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AD=CD=6，E是AD上一點(diǎn)，且AE=4，EF⊥AC，垂足為O，交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形ABFE為平行四邊形；
（2）求OF的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P，M分別是AC，F(xiàn)C的中點(diǎn)，PK⊥PM，交CD于點(diǎn)K，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂直與∠BAC=90°求出EF∥AB，然后根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)與∠ACD=45°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠ACB=45°，從而判定△ABC，△OFC都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等求出BF，然后求出CF，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OF即可；
（3）過P作PR⊥BC，垂足為R，作PS⊥DC，垂足為S，然后證明四邊形PRCS是正方形，再根據(jù)同角的余角相等求出MPR=∠KPS，然后利用“角邊角”證明△MPR≌△KP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MP=KP，SK=MR，根據(jù)點(diǎn)M是FC的中點(diǎn)求出MC的長(zhǎng)，P是AC的中點(diǎn)求出PC的長(zhǎng)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PR=RC=3，從而得到MR=1，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到SK的長(zhǎng)，從而可以求出CK，利用勾股定理列式求出PK，然后求出比值即可．
解答：（1）證明：∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴EF∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABFE為平行四邊形；

（2）解：∵AD=CD=6，∠ADC=90°，
∴AC=6，∠ACD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴△ABC，△OFC都是等腰直角三角形．
∴BC=12，
∵四邊形ABFE為平行四邊形，
∴BF=AE=4，
∴FC=12-4=8，
∴OF=4；

（3）解：過P作PR⊥BC，垂足為R，作PS⊥DC，垂足為S．
則∠PRM=∠PSK=90°，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，∠ACM=45°，
∴PR=PS，
∴四邊形PRCS是正方形，
∴∠SPR=90°，
又∵PK⊥MP，
∴∠MPR=∠KPS，
在△MPR和△KPS中，
∵，
∴△MPR≌△KPS（ASA），
∴MP=KP，SK=MR，
∵點(diǎn)M是FC的中點(diǎn)，
∴MC=（12-4）÷2=4，
點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，PC==3，
Rt△PRC中，∠PCR=45°，
∴PR=RC=3，
∴SC=PS=3，
MR=MC-RC=4-3=1，
∴SK=MR=1，
∴CK=SC-SK=3-1=2，
在Rt△PSK中，根據(jù)勾股定理，PK===，
∴=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定與性質(zhì)，題目比較復(fù)雜，難度較大．