Question

（1）如圖①所示，?ABCD中，E₁、E₂為對(duì)角線(xiàn)AC的三等分點(diǎn)，連接BE₁并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE₂并延長(zhǎng)交BC于Q，試說(shuō)明BQ與CQ的關(guān)系；
（2）如圖②所示，?ABCD中，E₁、E₂、E₃為對(duì)角線(xiàn)AC的四等分點(diǎn)，連接BE₁并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE₃并延長(zhǎng)交BC于Q，猜想BQ與CQ的關(guān)系（不必寫(xiě)證明過(guò)程）；
（3）如圖③所示，若取AC的n等分點(diǎn)，即E₁、E₂、…E_n-1，連接BE₁并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE_n-1并延長(zhǎng)交BC于Q，試說(shuō)明BQ與CQ的關(guān)系；
（4）若將?ABCD條件改為“梯形”ABCD，AD∥BC，其它條件不變，（3）中的結(jié)論是否成立？（直接寫(xiě)“成立”或“不成立”，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)可以得出△AE₁P∽△CE₁B，就可以得出AP：BC=1：2，由△CE₂Q∽△AE₂P就可以得出CQ：AP=1：2，就可以表示出CQ和BQ，從而得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可以得出△AE₁P∽△CE₁B，就可以得出AP：BC=1：3，由△CE₃Q∽△AE₃P就可以得出CQ：AP=1：3，就可以表示出CQ和BQ，從而得出結(jié)論；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)可以得出△AE₁P∽△CE₁B，就可以得出AP：BC=1：（n-1），由△CE_n-1Q∽△AE_n-1P就可以得出CQ：AP=1：（n-1），就可以表示出CQ和BQ，從而得出結(jié)論；
（4）如圖④，由梯形的性質(zhì)可以得出△AE₁P∽△CE₁B，就可以得出AP：BC=1：（n-1），由△CE_n-1Q∽△AE_n-1P就可以得出CQ：AP=1：（n-1），就可以表示出CQ和BQ，從而得出結(jié)論；

解答：解：（1）

CQ

BQ

=

1

3

．
∵E₁、E₂為對(duì)角線(xiàn)AC的三等分點(diǎn)，
∴

AE1

CE1

=

1

2

，

CE2

AE2

=

1

2

．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△AE₁P∽△CE₁B，△CE₂Q∽△AE₂P
∴

AP

BC

=

AE1

CE1

=

1

2

，

CQ

AP

=

CE2

AE2

=

1

2

，
∴BC=2AP，AP=2CQ，
∴BC=4CQ，
∴BQ=3CQ．
∴

CQ

BQ

=

1

3

；
（2）

CQ

BQ

=

1

8

∵E₁、E₂、E3為對(duì)角線(xiàn)AC的四等分點(diǎn)，
∴

AE1

CE1

=

1

3

，

CE3

AE3

=

1

3

．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△AE₁P∽△CE₁B，△CE₃Q∽△AE₃P
∴

AP

BC

=

AE1

CE1

=

1

3

，

CQ

AP

=

CE3

AE3

=

1

3

，
∴BC=3AP，AP=3CQ，
∴BC=9CQ，
∴BQ=8CQ．
∴

CQ

BQ

=

1

8

；
（3）

CQ

BQ

=

1

(n-1)2-1

．
∵E₁、E₂、…E_n-1為對(duì)角線(xiàn)AC的n等分點(diǎn)，
∴

AE1

CE1

=

1

n-1

，

CEn-1

AEn-1

=

1

n-1

．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△AE₁P∽△CE₁B，△CE₃Q∽△AE₃P
∴

AP

BC

=

AE1

CE1

=

1

n-1

，

CQ

AP

=

CEn-1

AEn-1

=

1

n-1

，
∴BC=（n-1）AP，AP=（n-1）CQ，
∴BC=（n-1）²CQ，
∴BQ=（n-1）²CQ-CQ=[（n-1）²-1]CQ．
∴

CQ

BQ

=

1

(n-1)2-1

；
（4）

CQ

BQ

=

1

(n-1)2-1

成立．
如圖④，∵E₁、E₂、…E_n-1為對(duì)角線(xiàn)AC的n等分點(diǎn)，
∴

AE1

CE1

=

1

n-1

，

CEn-1

AEn-1

=

1

n-1

．
∵四邊形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴△AE₁P∽△CE₁B，△CE₃Q∽△AE₃P
∴

AP

BC

=

AE1

CE1

=

1

n-1

，

CQ

AP

=

CEn-1

AEn-1

=

1

n-1

，
∴BC=（n-1）AP，AP=（n-1）CQ，
∴BC=（n-1）²CQ，
∴BQ=（n-1）²CQ-CQ=[（n-1）²-1]CQ．
∴

CQ

BQ

=

1

(n-1)2-1

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．