Question

18．如圖1，點(diǎn)M放在正方形ABCD的對(duì)角線AC（不與點(diǎn)A重合）上滑動(dòng)，連結(jié)DM，做MN⊥DM交直線AB于N．

（1）求證：DM=MN；
（2）若將（1）中的正方形變?yōu)榫匦�，其余條件不變（如圖2），且DC=2AD，求MD：MN；
（3）在（2）中，若CD=nAD，當(dāng)M滑動(dòng)到CA的延長線上時(shí)（如圖3），請(qǐng)你直接寫出MD：MN的比值．

Answer 1

分析 （1）過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根據(jù)ASA即可判定△MDP≌△MNQ，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DM=MN；
（2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，根據(jù)∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根據(jù)△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；
（3）過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根據(jù)CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n．

解答 解：（1）證明：過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠DMP=∠NMQ，
∵ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴PM=MQ，
在△MDP和△MNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MQN=∠MPD}\\{PM=MQ}\\{∠DMP=∠NMQ}\end{array}\right.$，
∴△MDP≌△MNQ（ASA），
∴DM=MN；

（2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，
∵M(jìn)N⊥DM，
∴∠DMW=∠NMS，
又∵∠MSN=∠MWD=90°，
∴△MDW∽MNS，
∴MD：MN=MW：MS=MW：WA，
∵M(jìn)W∥CD，
∴∠AMW=∠ACD，∠AWM=∠ADC，
∴△AWM∽△ADC，
又∵DC=2AD，
∴MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；

（3）MD：MN=n，
理由：過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，
∴MD：MN=MR：MX=AX：MX，
由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，
∴AX：MX=CD：AD，
又∵CD=nAD，
∴MD：MN=CD：AD=n．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，運(yùn)用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可．