Question

（2013•東城區(qū)一模）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
第三步：如圖③，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．（注：裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊）
則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值和最大值分別為多少？

Answer 1

分析：首先確定剪拼之后的四邊形是個(gè)平行四邊形，其周長(zhǎng)大小取決于MN的大�。�然后在矩形中探究MN的不同位置關(guān)系，得到其長(zhǎng)度的最大值與最大值，從而問(wèn)題解決．

解答：解：畫(huà)出第三步剪拼之后的四邊形M₁N₁N₂M₂的示意圖，如答圖1所示．
圖中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理），
又∵M(jìn)₁M₂∥N₁N₂，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂是一個(gè)平行四邊形，
其周長(zhǎng)為2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6為定值，
∴四邊形的周長(zhǎng)取決于MN的大�。�
如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖，
過(guò)G、H點(diǎn)作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，則四邊形PBCQ是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半，
∵M(jìn)是線段PQ上的任意一點(diǎn)，N是線段BC上的任意一點(diǎn)，
根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；
而MN的最大值等于矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度，即

PB2+BC2

=

42+62

=2

13

，
四邊形M₁N₁N₂M₂的周長(zhǎng)=2BC+2MN=12+2MN，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂周長(zhǎng)的最小值為12+2×4=20，
最大值為12+2×2

13

=12+4

13

．
故四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為20，最大值為12+4

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)圖形的剪拼，考查了動(dòng)手操作能力和空間想象能力，確定剪拼之后的圖形，并且探究MN的不同位置關(guān)系得出四邊形周長(zhǎng)的最值是解題關(guān)鍵．