Question

（2011•武漢模擬）在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑作弧

AC

，F(xiàn)為

AC

上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作⊙B的切線交AD于點(diǎn)P，交DC于點(diǎn)Q．
（1）求證△DPQ的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半；
（2）分別延長(zhǎng)PQ、BC，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，設(shè)AP長(zhǎng)為x，BM長(zhǎng)為y，試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB⊥AD，BC⊥CD，推出DA和CB都是圓B的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理A得出PA=PF，QF=CQ，代入求出即可；
（2）在△DPQ中根據(jù)勾股定理求出CQ的值，求出DQ的值，根據(jù)平行線得出三角形相似，根據(jù)相似得出

DP

CM

=

DQ

CQ

，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圓B的切線，
∵PQ切圓B于F，
∴AP=PF，QF=CQ，
∴△DPQ的周長(zhǎng)是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD，
∵正方形ABCD的周長(zhǎng)是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD，
∴△DPQ的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半．

（2）解：在Rt△PDQ中，由勾股定理得：DP²+DQ²=PQ²，
∴（4-x）²+（4-CQ）²=（X+CQ）²，
解得：CQ=

16-4x

x+4

，
DQ=4-

16-4x

x+4

=

8x

x+4

，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△PDQ∽△MCQ，
∴

DP

CM

=

DQ

CQ

，
即

4-x

y-4

=

8x x+4

16-4x x+4

，
∴y=

8

x

+

1

2

x，
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=

8

x

+

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，切線的判定，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．