Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3（a≠0）與直線y＝x﹣1交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），AB＝5．

（1）求證：該拋物線必過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

（2）求該拋物線的解析式；

（3）設(shè)直線x＝m與該拋物線交于點(diǎn)E（x1，y1），與直線AB交于點(diǎn)F（x2，y2），當(dāng)滿足y1+y2＞0且y1y2＜0時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）y＝x2﹣6x+5或y＝﹣x2﹣x+；（3）m＜1或4＜m＜5或﹣＜m＜1或m＞1．

【解析】

（1）將二次函數(shù)解析式進(jìn)行變形，得到y=a（x2﹣3x+2）a﹣3x+3，當(dāng)x2﹣3x+2＝0時(shí)，即可求出函數(shù)圖象過(guò)的定點(diǎn).

（2）將y＝x﹣1代入y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3，根據(jù)韋達(dá)定理得到根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出的值.

（3）根據(jù)（2）中的解析式，分兩種情況進(jìn)行討論即可.

解：（1）證明：∵y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3＝a（x2﹣3x+2）a﹣3x+3，

∴當(dāng)x2﹣3x+2＝0時(shí)，圖象過(guò)定點(diǎn)，即：x＝1或2，

∴該拋物線必過(guò)定點(diǎn)（1，0）、（2，﹣3）；

（2）將y＝x﹣1代入y＝ax2﹣3（a+1）x+2a+3，整理得：ax2﹣（3a+4）x+2a+4＝0，

即：

如下圖，直線y＝x﹣1與x軸的夾角為45°，則AB的水平距離為

解得：a＝1或

則函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣6x+5或

（3）當(dāng)函數(shù)為：y1＝x2﹣6x+5時(shí)，直線表達(dá)式為：y2＝x﹣1，

令y1＝0，則x＝1或5，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，0），

①當(dāng)m＜1時(shí)，則y1y2＜0，

當(dāng)x＝m時(shí)，y1+y2＞0，即：m2﹣6m+5+m﹣1＞0，

解得：m＞4或m＜1，

故：m＜1；

②當(dāng)1＜m＜5時(shí)，m2﹣6m+5+m﹣1＜0，

解得：4＜m或m＜1，

故：4＜m＜5；

同理當(dāng) 時(shí)，

或m＞1；

綜上所述：m的取值范圍為：m＜1或4＜m＜5或或m＞1．