Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M是x軸正半軸上一點(diǎn)，圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（0，-）．
求：（1）圓心M的坐標(biāo)；
（2）如圖，P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，Q為弧PC的中點(diǎn)，直線AP、DQ交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括B、C兩點(diǎn)），AG的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)指出變化范圍，若不變化，請(qǐng)求出其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）圓心M就是AC的中垂線與x軸的交點(diǎn)，求得OM的長(zhǎng)即可；
（2）求證∠ADG=∠AGD，得出AG=AD，由垂徑定理得出AD=AC=2，即可求出答．
解答：解：（1）在直角△AOC中，OA=1，OC=
根據(jù)勾股定理即可求得：AC=2，∠OAC=60°
∵作AC的中垂線DM，垂足是D，與x軸的交點(diǎn)就是M，
∴AM=CM，
∴△AMC是等邊三角形，
在直角△ACM中，AM=AC=2，
∵OA=1，
∴OM=1，則M的坐標(biāo)是（1，0）；

（2）解：長(zhǎng)度不變而且AG=AC=2，
∵Q為弧PC中點(diǎn)，
∴∠CDQ=∠PDQ，
又∵∠DCA=∠Q，
∴∠CDA+∠CDQ=∠Q+∠QAP，
即∠AGD=∠ADG，
∴AD=AG，
∴AC=AG=2，
即無(wú)論他怎么移動(dòng)，AC是固定的長(zhǎng)度，
所以AG長(zhǎng)度同樣固定，
AG=AC=2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓心的確定方法，證明一個(gè)三角形的兩邊相等，即證明一個(gè)三角形是等腰三角形，常用的方法是一句等角對(duì)等邊證明．