Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，且AC=3，BC=4．CD平分∠ACB，則CD的長(zhǎng)為________．

Answer 1

分析：作CH⊥AB于H，連結(jié)OD、AD、BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，∠ADB=90°，則根據(jù)勾故定理可計(jì)算出AB=5，由CD平分∠ACB，得弧AD=弧BD，所以AD=BD，可判斷△ABD為等腰直角三角形，所以O(shè)D=，利用面積法可計(jì)算出CH=，利用勾股定理可計(jì)算出AH=，則OH=OA-AH=，由CH∥OD得到△ECH∽△EDO，根據(jù)相似的性質(zhì)得EH：EO=CH：OD=24：25，所以EH=，OE=，在Rt△EHC中利用勾股定理計(jì)算出CE=，在Rt△OEH中計(jì)算出DE=，所以CD=CE+DE=4．
解答：作CH⊥AB于H，連結(jié)OD、AD、BD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴AB==5，
∵CD平分∠ACB，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴OD=AB=，
∵AC•BC=CH•AB，
∴CH=，
在Rt△ACH中，AH==，
∴OH=OA-AH=，
∵CH∥OD，
∴△ECH∽△EDO，
∴EH：EO=CH：OD=24：25，
∴EH=×=，OE=，
在Rt△EHC中，CE==，
在Rt△OEH中，DE==，
∴CD=CE+DE=4．
故答案為4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．