Question

如圖，矩形OABC的兩邊OA和OC所在直線分別為l₁、l₂，l₁和l₂的交點(diǎn)為O，OA=3，AB=4．將矩形OABC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使B點(diǎn)落在射線OC上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為AO₁B₁C₁，BC、A₁B₁相交于點(diǎn)M．
（1）求tan∠OB₁A₁的值；
（2）將圖1中的矩形OA₁B₁C₁沿射線OC向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過(guò)程中的某一位置，BC、A₂B₂相交于點(diǎn)M₁，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x，CM₁=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，平移后的矩形為PA₃B₃C₃．請(qǐng)你思考如何通過(guò)使用最少圖形變換次數(shù)使矩形PA₃B₃C₃與原矩形OABC重合，請(qǐng)簡(jiǎn)述你的做法．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的正切值的求算方法可直接利用線段的比求出tan∠OB₁A₁=

OA1

OB1

=

3

4

；
（2）用含x的代數(shù)式表示出B₂C=1+x，根據(jù)第一問(wèn)的三角函數(shù)可求得

CM1

B2C

=

3

4

，則y=

3

4

x+

3

4

，0≤x≤

11

5

；
（3）通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移可得到．

解答：解：（1）tan∠OB₁A₁=

OA1

OB1

=

3

4

；

（2）B₁C=1，B₂C=1+x，
∵tan∠OB₁A₁=

OA1

OB1

=

CM1

B2C

=

3

4

，
∴y=

3

4

x+

3

4

，0≤x≤

11

5

．

（3）將矩形PA₃B₃C₃繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠A₃CB，再向下平移4得到原矩形OABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)，并涉及到矩形的性質(zhì)和一次函數(shù)的綜合性題目．要掌握它們的性質(zhì)才能靈活的運(yùn)用，本題滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．