Question

如圖，將等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分的面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：設BC交AB與D，由△ABC為等腰直角三角形，得到∠CAB=45°，再由旋轉的性質得到∠CAC′=30°，AC=AC′=1，于是
∠C′AD=15°，在Rt△AC′D中，利用三角函數即可得到C′D=2-，最后根據三角形的面積公式求出△AC′D的面積即圖中陰影部分的面積．
解答：解：設BC交AB于D，如圖，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
又∵三角形ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到△AB′C′，
∴∠CAC′=30°，AC=AC′=1，
∴∠C′AD=15°，
在Rt△PQG中，∠G=90°，∠PGQ=30°，延長GQ到M，使QM=QP，連MP，如圖，
設PG=1，則QG=，PQ=2，
∴QM=2+，∠M=15°，
∴tan15°==2-．
在Rt△AC′D中，
tan15°==2-，
∴C′D=2-，
∴陰影部分的面積=•AC′•C′D=×1×（2-）=．
故選C．
點評：本題考查了旋轉的性質，旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．同時考查了等腰三角形的性質和15度的正切值．