Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D在AC上，CD=1，P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP=m．
（1）如圖甲，當(dāng)m為何值時(shí)，△ADP與△ABC相似；
（2）如圖乙，延長(zhǎng)DP至點(diǎn)E，使EP=DP，連結(jié)AE，BE．
①四邊形AEBC的面積S會(huì)隨m的變化而變化嗎？若不變，求出S的值；若變化，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)Eˊ，連結(jié)BD，當(dāng)∠DBA=2∠DEEˊ時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)若△ADP與△ABC相似，則或，列出算式，再計(jì)算即可．
（2）①四邊形AEBC的面積S不變，分別過(guò)D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，則∠DGP=∠EHP=90°，再根據(jù)∠GPD=∠HPE，DP=EP，得出△DGP≌△EHP，DG=EH，再根據(jù)sin∠BAC=，求出EH=DG=×3，最后根據(jù)S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE代入計(jì)算即可；
 ②當(dāng)E'在D的上方時(shí)，則 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，再根據(jù)∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D，得出∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP，BP=BD=，即可求出m，
當(dāng)E'在D的下方時(shí)，記BD與PE'交于點(diǎn)F，先求出DE'=2PG=2（），再根據(jù)BD=BF+DF=BP+DE'=m+=，求出m即可．
解答：解：（1）若△ADP與△ABC相似，
則=或=，
=或=，
∴m=或m=，
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△ADP與△ABC相似；

（2）；①四邊形AEBC的面積S不變，且S=，
理由如下：如圖①：
分別過(guò)D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足，
∴∠DGP=∠EHP=90°，
又∵∠GPD=∠HPE，DP=EP，
∴△DGP≌△EHP，
∴DG=EH，
∵sin∠BAC===，
∴EH=DG=×3=，
∴S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE=×3×4+×5×=；
 
②當(dāng)E'在D的上方時(shí)，如圖②
由題意，得 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，
∴∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D
∴∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP
∴BP=BD==
∴；
當(dāng)E'在D的下方時(shí)，如圖③，記BD與PE'交于點(diǎn)F
由（2）①，得 BF=BP，DF=DE'，
DE'=2PG=2（5-m-）=-2m，
∴BD=BF+DF=BP+DE'
=m+-2m，
=-m=，
∴m=；
綜上所述，當(dāng)m=或m=時(shí)，∠DBA=2∠DEE'．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，列出算式．