Question

如圖，在直角坐標系中，已知P₀的坐標為（1，0），將線段OP₀繞O按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP₀的3倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁繞O點按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的3倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，Op_n（n為正整數(shù)），則△P₂₀₀₉OP₂₀₁₀的面積________．

Answer 1

分析：求出OP₁、OP₂、OP₃的長，得出規(guī)律求出OP₂₀₁₀的長，根據(jù)經(jīng)過8次P₈落在x軸的正半軸上，得到OP₂₀₁₀在y軸上，OP₂₀₀₉在第一象限角的平分線上，求出三角形的高，根據(jù)三角形的面積求出即可．
解答：解：OP₁=3OP=3×1=3，
同理OP₂=30P₁=3×3×1=3²，
OP₃=3OP₂=3³，
…
OP₂₀₀₉=3²⁰⁰⁹，OP₂₀₁₀=3²⁰¹⁰，
∵360°÷45°=8，
即經(jīng)過8次P₈落在x軸的正半軸上，
∴2010÷8=251…2，
即OP₂₀₁₀在y軸上，OP₂₀₀₉在第一象限角的平分線上，
如圖：過P₂₀₀₉作P₂₀₀₉C⊥y軸于C，
由勾股定理求出P₂₀₀₉C=，
∴△OP₂₀₀₉P₂₀₁₀的面積是×OP₂₀₁₀×CP₂₀₁₀=×3²⁰¹⁰×=，
故答案為：．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了等腰三角形的性質．