Question

AB=2R是半圓的直徑，C、D是半圓周上兩點(diǎn)，并且弧AC與BD的度數(shù)分別是96°和36°，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，則PC+PD的最小值為

 

．

Answer 1

分析：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得出∠DOC′=120°，作OE⊥C′D于E，利用垂徑定理及特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．

解答：解：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，在另一半圓上，并且

BC′

的度數(shù)=

BC

的度數(shù)=84°，
所以∠DOC′=120°，∠OC′D=∠ODE=30°，
過(guò)O作OE⊥C′D于E，則C′E=OC′•cos30°=

3 R

2

，
所以DC′=

3

R，
因?yàn)镻C+PD=PC′+PD≥C′D

3

R，當(dāng)P點(diǎn)是DC′與AB的交點(diǎn)時(shí)取“=”．
故（PC+PD）min=

3

R．
故答案為：

3

R．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂徑定理，涉及面較廣，難度適中．