Question

如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A的左側(cè)),頂點(diǎn)為C, 點(diǎn)D（1,m）在此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上,過點(diǎn)D作y軸的垂線,交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于E點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,1）時(shí),連接BD、．求證：平分；
（3）點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上且位于第一象限,若以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似,求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式為；C（1,-4）；
（2）平分；
（3）E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或..

試題分析：解：（1）∵點(diǎn)D（1,m）在圖象的對(duì)稱軸上,
∴．
∴．
∴二次函數(shù)的解析式為．
∴C（1,-4）．  
（2）∵D（1,1）,且DE垂直于y軸,
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1,DE平行于x軸．
∴．
令,則,解得．
∵點(diǎn)E位于對(duì)稱軸右側(cè),
∴E．
∴D E =．
令,則,求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）．
∴BD =．
∴BD =" D" E．
∴．
∴．
∴平分．
（3）∵以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似,
且△GDE為直角三角形,
∴△ACG為直角三角形．  
∵G在拋物線對(duì)稱軸上且位于第一象限,
∴．
∵A（3,0）C（1,-4）,,
∴求得G點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）．
∴AG=,AC=．
∴AC="2" AG.
∴GD="2" DE或 DE ="2" GD.
設(shè)（t >1） ,
.當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的上方時(shí),則DE="t" -1,
GD = ()=.
i.如圖,當(dāng) GD="2" DE時(shí),

則有, = 2(t-1).
解得,.(舍負(fù))
ii. 如圖3當(dāng)DE =2GD時(shí),

則有,t -1=2().
解得,.(舍負(fù))
. 當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的下方時(shí),則DE="t" -1,
GD="1-" ()= -.
i. 如圖,當(dāng) GD="2" DE時(shí),

則有, =2（t -1）.
解得,.(舍負(fù)) 
ii. 如圖,當(dāng)DE ="2" GD時(shí),

則有,t-1=2（）.
解得,.(舍負(fù))  
綜上,E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或.