Question

（2013•黔東南州一模）如圖，等邊△ABC的面積為

3

，順次連接△ABC各邊的中點(diǎn)得△A₁B₁C₁，順次連接△A₁B₁C₁各邊的中點(diǎn)得△A₂B₂C₂，…，如此下去得△A_nB_nC_n，則△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)為

3

2n-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，可得后一個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于前一個(gè)三角形的周長(zhǎng)的一半，根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．

解答：解：∵等邊△ABC的面積為

3

，
∴AB=BC，∠B=60°
∴

1

2

AB•BCsin60°=

3

，則AB=BC=2
∴△ABC的周長(zhǎng)為6．
∵順次連接△ABC各邊的中點(diǎn)得△A₁B₁C₁，
∴△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)=

1

2

×6=3，
同理：△A₂B₂C₂的周長(zhǎng)=

1

2

△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)=

1

2

×3=

3

2

，
…
以此類推，△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)=

1

2

△A_n-1B_n-1C_n-1的周長(zhǎng)=

3

2n-1

．
故答案是：

3

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，推出后一個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于前一個(gè)三角形周長(zhǎng)的一半是解題的關(guān)鍵．