Question

（2009•婁底）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E，連接BE，CE．
（1）求證：△ABE≌△ACE；
（2）當(dāng)AE與AD滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABEC是菱形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知三角形三線(xiàn)合一，結(jié)合SAS可得△ABE≌△ACE．四邊形ABEC相鄰兩邊AB=AC，只需要證明四邊形ABEC是平行四邊形的條件，當(dāng)AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）時(shí)，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分，可得四邊形是平行四邊形．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAE=∠CAE（三線(xiàn)合一），
在△ABE和△ACE中，
∵，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：當(dāng)AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）時(shí)，四邊形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∵AB=AC，
∴四邊形ABEC為菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)和菱形的判定定理，比較容易．