Question

（2013•益陽）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．
（1）求證：AE=BC；
（2）如圖（2），過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結(jié)CE′，BF′，求證：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時，求出α即可．

解答：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．

（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中

AC=AB ∠E′AC=∠F′AB AE′=AF′

，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)經(jīng)過的路徑（圓弧）與過點(diǎn)C且與AB平行的直線l交于M、N兩點(diǎn)，
如圖：①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．                                   
②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時，CE′∥AB．

點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．