Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，0）和原點(diǎn)O．正方形BCDE的頂點(diǎn)B在拋物線y=x²+bx+c上，且在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)C、D在x軸上，點(diǎn)E在第四象限，且OD=1
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求正方形BCDE的邊長(zhǎng)；
（3）若正方形BCDE沿x軸向右平移，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)落在拋物線y=x²+bx+c上時(shí)，求平移的距離；
（4）若拋物線y=x²+bx+c沿射線BD方向平移，使拋物線的頂點(diǎn)P落在x軸上，求拋物線平移的距離．

Answer 1

分析：（1）將A和原點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可求出拋物線的解析式．
（2）可設(shè)出C的坐標(biāo)如（a，0），那么CD=BC=1-a，因此B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，1-a）代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）本題要按四邊頂點(diǎn)分別在拋物線的圖象上這四種情況進(jìn)行求解，解題思路一致．以E點(diǎn)落在拋物線圖象上為例說(shuō)明：題（2）已經(jīng)求出了正方形的邊長(zhǎng)為

3

-1，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，那么此時(shí)E′的坐標(biāo)為（1+

3

，1-

3

），已知了OD=6，而OD′=1+

3

，因此移動(dòng)的距離為OD′-OD=

3

．（其他情況解法一樣）．
（4）假設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為P′，可先根據(jù)直線BD的解析式求出直線PP′的解析式，進(jìn)而求出P′的坐標(biāo)，那么PP′就是拋物線平移的距離．

解答：解：（1）由題意可得：

9+3b+c=0 c=0

，
解得

b=-3 c=0

∴y=x²-3x．

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
則B（1-a，-a）代入解析式．
得a=

3

-1

（3）①當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí)，設(shè)平移后正方形為A′B′C′D′，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：E′（1+

3

，1-

3

），
因此OD′=1+

3

，即平移的距離為OD′-OD=

3

．
②當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí)，同理可求得B′（1+

3

，1-

3

），
因此OC′=1+

3

，
因?yàn)镺C=1-a=2-

3

，
因此平移的距離為OC′-OC=2

3

-1．
③當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí)，可得D′（3，0），因此平移的距離為OD′-OD=3-1=2．
④當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí)，可得C′（3，0），因此拋物線移動(dòng)的距離為OC′-OC=3-（2-

3

）=1+

3

．
綜上所述，正方形平移的距離為

3

，2，2

3

-1，

3

+1．

（4）設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為P′，易知：直線BD的解析式為y=x-1．
因此可設(shè)直線PP′的解析式為y=x+h．
易知P（

3

2

，-

9

4

），代入直線PP′中可得h=-

15

4

．
因此P′（

15

4

，0）則平移的距離為

( 3 2 - 15 4 )2+(- 9 4 )2

=

9 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的平移、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．